Unsere Ebene, Spurpunkte und Spurgeraden befinden sich in unserem Thema immer in einem dreidimensionalen Koordinatensystem mit den Achseln x1, x2 und x3.
Was eine Ebene in einem dreidimensionalen Koordinatensystem ist sollte bereits bekannt sein.
Wir beginnen damit das ich euch erkläre was Spurpunkte und Spurgeraden sind.
Ein Spurpunkt ist ein Gemeinsamer Punkt einer Ebene mit einer Koordinatenachse. Anders gesagt es handelt sich um einen Punkt wo eine Ebene eine Koordinatenachse durchbricht. Verbindet man nun zwei Spurpunkte mit einander, so erhält man eine Spurgerade. Bei der Spurgeraden handelt es sich auch um eine Schnittgerade der Ebene mit der Koordinatenebene.
Mit den Spurpunkten, für die wir die Abkürzungen S1, S2 und S3 verwenden und den Spurgeraden, für welche wir die Abkürzungen S12, S13 und S23 verwenden, lässt sich eine Ebene zeichnerisch darstellen. Dabei handelt es sich aber nur um einen Ausschnitt der Ebene.
Im Bild oben könnt ihr einen Ebenenausschnitt einer Ebene betrachten welche mit Spurgeraden dargestellt wird.
Um Spurpunkte zu berechnen und Ebene in Gleichungen darzustellen verwenden wir die Koordinatengleichung:
ax1+bx2+cx3=d
In unserem Beispiel im oberen Bild haben wir die Gleichung: 3x1+2x2+6x3=6
Um die Spurpunkte unseres Beispiels nur anhand der Gleichung herauszufinden setzen wir x2 und x3 gleich null und rechen dann die Gleichung aus. Damit haben wir das Ergebnis x1=2. Das ist unser erster Spurpunkt S1(2/0/0). Dieses Verfahren wiederholen wir dann noch zwei mal jedoch mit den Unterschied das wir beim zweiten Mal x1 und x3 gleich null setzen und beim dritten Mal x1 und x2 gleich null setzen. Beim zweiten und dritten Mal erhalten wir dann S2(0/3/0) und S3(0/0/1).
Damit hätten wir auch schon das berechnen von Spurpunkten und die zeichnerische Darstellung von Ebenen, Spurpunkten und Spurgeraden größten Teils durch. Es gibt nur noch ein Thema das wir durch nehmen müssen und zwar die besondere Lagen von Ebenen.
Besondere Lagen von Ebenen erkennt man nicht nur als zeichnerische Darstellung im Koordinatensystem, sondern auch an der Gleichung der Ebene. Insgesamt haben wir zwei besondere Lagen von Ebenen die sich in der Gleichung wie folgt zeigen:
ax1+bx2=d
und
ax1=d
Wie ihr erkennt verliert die Koordinatengleichung eins bis zwei x Stellen. Das hat bei der zeichnerischen Darstellung der Ebenen folgende Auswirkungen.
Die Gleichung zu diesem Bild lautet: 3x1+2x2=6
Wenn wir das vorherige Verfahren an diese Gleichung anwenden bekommen wir die ersten zwei Spurpunkte heraus welche auch im oberen Bild eingezeichnet sind. Setzen wir jetzt aber x1 und x2 gleich null erhalten wir 0=6. Wir bekommen nach dem Ergebnis keinen S3 .
Das bedeutet die Ebene hat keinen Punkt an der sie die x3-Achsel durchbricht. Sie ist demnach parallel zur x3-Achsel. Das erkennen wir auch am oberen Bild. Um die Ebene nun zeichnerisch darzustellen erstellt man eine Spurgerade die durch die zwei Spurpunkte verläuft und zwei Spurgeraden die jeweils orthogonal zur ersten Spurgerade an den Spurpunkten sind. Die erste Spurgerade wir nach den zwei Spurpunkten benannt die sie durchläuft. In unserem Beispiel S12.
Die zwei anderen Spurgeraden werden nach dem Spurpunkt denn sie durchbrechen und der Koordinatenachsel zu welcher sie sich parallel befinden benannt. In unserem Beispiel heißen die Spurgeraden S13 und S23.
Für die zweite besondere Lage mit der Gleichung ax1=d haben wir als Beispiel die Gleichung 3x1=6 mit dem Bild unten:
Wie wir an der Gleichung erkennen, können wir mit ihr nur einen Spurpunkt berechnen. Das bedeutet das die Ebene nur an einer Stelle eine Koordinatenachsel durchbricht. Das bedeutet das die Ebene zu den anderen zwei Koordinatenachseln parallel ist. Das können wir auch am oberen Bild betrachten.
Um die Ebene zeichnerisch Darzustellen zeichnen wir zwei Spurgeraden ein welche den Spurpunkt durchlaufen und parallel zu jeweils einer Achsel sind. Benannt werden die Spurgeraden nach dem Spurpunkt und der Koordinatenachsel su welcher sie parallel verlaufen. In unserem Beispiel heißen die Spurgeraden S12 und S13.
Damit sind wir dann auch schon fertig mit dem Thema zeichnerische Darstellung von Ebenen, Spurpunkten und Spurgeraden.
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